Okullardaki matematik eğitiminde birçok temel matematiksel “gerçeklerin” nereden kaynaklandığından ve neden doğru olduğundan pek bahsedilmez. Bazı şeyler tanım gereği doğrudur. Tanım gereği doğru olmayan matematiksel gerçekler daha fazla akıl yürütmeyi gerektiren bir kanıtlanmayı gerektirir. Geçtiğimiz günlerde Hacettepe Üniversitesi’nde bir konuşma yapmak üzere çalıştaya davet edilmiştim. Katılımcılardan biri, seminer sonrasında yanıma gelip, boşkümenin neden her kümenin altkümesi olduğunu sormuştu. Bu soruyu daha önce de çok soran oldu. Matematikle uğraşan birçok kişi belki bu sorunun cevabını merak edebilir diye bu konuyu Düşünbil Portal’a taşımak istedim. Aslında bu sorunun cevabı, koşullu önermelerin özelliğiyle ilgilidir. Hemen söyleyelim: Koşullu önermeler, “Eğer x olursa y olur” tarzındaki yargı cümleleridir. “Eğer x olursa” kısmına önermenin varsayımı, “y olur” kısmına önermenin sonuç kısmı denir. Örneğin, “Eğer bardağı bırakırsam bardak yere düşer” koşullu bir önermedir. “Her genç erkek askere gider” gibi bir önerme de aslında koşullu bir önermedir. Bu önermeyi “Eğer bir erkek genç ise, askere gider” şekline dönüştürebiliriz.
Boşkümenin neden her kümenin bir altkümesi olduğunu söylemeden önce şu soruya cevap verelim: Küme nedir? Küme dediğimiz şey bir topluluktur. Peki, boşküme bir küme midir? Aslında matematikte boşküme, bir küme olarak tanımlı. Tabii boşkümenin gerçek hayatta da bir karşılığının olmasını bekleriz. Kümeleri birer çanta olarak düşünebiliriz. İçinde hiçbir şey olmayan çanta nasıl bir çantaysa, boşküme de öyle bir kümedir. Tek bir farkla ki, boş çantanın içine alabileceği nesneler sonlu sayıyla sınırlıdır. Öte yandan, kümelerin sonsuz sayıda elemanı olabilir. Örneğin, doğal sayılar kümesi {0,1,2,3,…} şeklinde ifade edilen ve bütün doğal sayıları içeren bir topluluktur. Aslında modern matematikte hemen hemen her şey kümelerden inşa edilir. Doğal sayı, kesirli sayı, reel sayı, diziler, sıralamalar, fonksiyonlar, bağıntılar, vektör uzayları; neredeyse her şey. Hatta matematiğin nesneleri en nihayetinde boşkümeden türetilir. Yukarıda yazdığımız doğal sayılar da, matematiğin içinde, boşkümeden türetilen nesnelerdir. Temel nesne boşkümedir. Yani, analojimize göre, temel nesnemizi boş çanta olarak düşünebiliriz. Önce boş bir çanta ele alalım. Şimdi, içinde sadece boş çanta olan bir başka çanta düşünelim… Sonra bu çantayı bir başka büyük çantaya koyalım… Sonra bunu da bir çantaya koyalım. Bu şekilde çantaları iç içe koymaya devam edelim. Gözünüzün önüne matruşka bebekleri geliyorsa konu anlaşılmış demektir. Modern matematikte nesneler birer matruşka bebeği gibidir. Matematik, en nihayetinde, dışarı doğru sınırlı veya sınırsız şekilde büyüyebilen matruşka bebeklerinin birbirleriyle olan yapısal, sırasal, cebirsel, büyüklük/küçüklük ilişkilerinden ibarettir.
Şimdi yazımızın konusu olan soruya gelelim. Boşküme neden her kümenin altkümesidir? Bu soruya, başka bir soruya yanıt vererek cevap arayalım. Şu önermeyi inceleyelim: “Neptün’deki her insan Türk’tür.” Bu önerme mantıkta doğrudur. Ne zaman yanlış olurdu? Neptün’de bir insan olup Türk olmasaydı. Yani önermenin yanlış olması için Neptün’de bir insan var olmalı ve o insan Türk olmamalı. Ama Neptün’de bir insan yok. Demek ki yanlış olma koşulu sağlanmadığı için “Neptün’deki her insan Türk’tür” önermesi yanlış değil. Klasik mantıkta “yanlış değil” demek “doğru” demektir. Yani “Neptün’deki her insan Türk’tür” önermesi yanlış olmadığından doğrudur. Demek ki “Neptün’deki her insan İngiliz’dir” önermesi de doğrudur. Çünkü Neptün’de insan yoktur. O zaman, herhangi bir X özelliği için, “Neptün’deki her insan X özelliğine sahiptir” dersek bu da doğrudur. Yani koşullu önermenin varsayımı yanlışsa sonuç kısmının ne olduğunun önemi yoktur.
Şimdi boşkümenin neden her kümenin altkümesi olduğuna bakalım. Altküme tanımı şöyledir: A ve B birer küme olsun. Eğer A kümesindeki her eleman B kümesinde de varsa, A kümesi B kümesinin altkümesi olur. Demek ki boşkümenin, herhangi bir B kümesinin altkümesi olması için boşkümedeki her elemanın B kümesinde de olması gerek. Bunun yanlış olması için ne olmalı? Boşkümede bir eleman olup o eleman B kümesinde olmamalı. Ama boşkümede bir eleman yok! O zaman yanlış olma koşulu sağlanmıyor. Yani “Boşkümedeki her eleman B kümesinde de vardır” önermesi yanlış değil. Yanlış olmadığı için önerme doğru. B yerine herhangi bir küme ele alınabilir. B kümesi gelişigüzel seçildiği için, demek ki boşküme her kümenin altkümesidir.
Bir sonraki yazıda, çarpmanın yutan elemanının neden 0 olması gerektiğini tartışacağız ve aritmetikte 0 ile yapılan bazı işlemlerin neden tanımsız ya da belirsiz olduğuna açıklık getireceğiz.
Yazar: Ahmet Çevik
Düşünbil Portal’da yayımlanan, Düşünbil yazar ve çevirmenlerine ait herhangi bir yazı, çeviri, makale ve haber izin alınmadan basılı olarak ya da internet ortamında kullanılamaz, çoğaltılamaz, yayınlanamaz. İzinsiz kullananlar hakkında hukuki yollara başvurulacaktır.
Düşünbil Portal’da yayınlanan tüm özgün yazıların içeriğinden yazarları sorumludur.