Bu çalışmada, matematiksel mantık ve felsefe ilişkisi Bertrant Russell’ın Matematiksel Mantığın Felsefi Önemi (2011a) adlı yazısından hareketle açıklanacaktır.
Bertrant Russell matematikçiliğinden gelen sağlam düşünme yöntemi ile açık, aydınlık ve tanımlayıcı bir anlatım gücüne sahipti. Sorunların çözümlenmesinde akılcı yöntemi kullandı ve politikadan ahlakbilime kadar her alanda reformcu tutumu benimsedi. İngiltere’de idealizme isyanın başını çekmiş ve analitik felsefenin kurulmasında katkıda bulunmuştur. Ayrıca dahi olarak gördüğü Ludwig Wittgenstein’ı, mantık üzerine çalışmaya teşvik etmesi ve Tractatus Logico-Philosophicus’un yayınlanmasına katkıda bulunmasıyla felsefeye kazandırmış kişidir.
Russell, Gottfried Leibniz’i matematiksel mantığın zeminini hazırlayan filozoflardan biri olarak gördü. Fakat onun Aristoteles’e olan fazlaca bağlılığı ve tanrı düşüncesi bu alanın kurucusu olmasına engeldi (Russell, 2012: 180-181). Russell, Henri Bergson ve Georg Wilhelm Hegel’e karşı da oldukça acımasızdır. Bergson’un matematiksel olarak yanlış yorumlarına, Hegel’in ve Hegelcilerin ise bu yanlışlara sarılarak matematiğe olan aşırı kuşkucu tavrına karşı acımasız yorumlarda bulundu (Russell, 2012: 532:533). Russell ayrıca, kendisinden önce dile getirilen matematiksel bilginin kaynağı konusundaki açıklamaları büyük bir güvenle reddediyordu. O, matematiğin ne John Stuart Mill gibilerin ifade ettiği gibi deneyimden kaynaklandığını ne de Immauel Kant gibilerin ifade ettiği gibi a priori olduğunu düşünüyordu (Russell, 2012: 573:574). Şimdi, matematiğin Russell için ne olduğunu ve söz ettiği bu matematiğin mantığının, felsefe için ne ifade ettiği üzerinde durulacaktır.
Matematiksel Felsefeye Giriş kitabının (2011b) son bölümü olan “Matematik ve Mantık”taki şu ifadeler aslında Russell’ın konu hakkındaki netliğini gösterir:
“Tarihsel anlamda, matematik ve mantık tamamen farklı çalışmalar olmuşlardır. Matematik bilimle, mantık Yunanlılarla ilişkilendirilmiştir. Fakat ikisi de son zamanlarda gelişmiştir: mantık daha çok matematikselleşmiş ve matematik daha çok mantıksal hale gelmiştir. Sonuçta ikisi arasında bir çizgi çizmek tamamen imkânsız hale gelmiştir, haddi zatında ikisi bir olmuştur. Genç ve yetişkin kadar birbirinden farklıdırlar: Mantık matematiğin gençliği ve matematik mantığın yetişkin halidir. Bu görüşe, klasik metinlerle çalışarak vakitlerini geçiren ve bir parça sembolik muhakemeyi takipten aciz mantıkçılar ve bir tekniğin içeriğini veya nedenlerini soruşturmayı dert edinmeden öğrenmiş matematikçiler, içerlemişlerdir. Şansımıza bu iki tip de gittikçe azalmaktadır şimdilerde. Günümüz matematik çalışmalarının çoğu açıkça mantığın sınırları üzerindedir; yine günümüz mantığın çoğu sembolik ve biçimseldir ki matematik ve mantığın bu çok yakın ilişkisi her eğitimli öğrenciye aşikâr olmaktadır.”
Matematiğin mantıksal temelleri de, Russell ile Alfred North Whitehead’in, 1913 yılında yayımının tamamlandığı üç ciltlik Principia Mathematica adlı eserinde kapsamlı olarak ele alınmaktadır. Bu eserde matematiğin mantığa indirgenmesi/mantıkla özdeşleştirilmesi girişimi vardır.
Burada kullacağımız ana kaynak Russell’ın Matematiksel Mantığın Felsefi Önemi (The Philosophical Importance of Mathematical Logic) olacaktır. Matematiğin felsefi önemi değil de matematiksel mantık olarak vurgu yapılması, Russell için dolaylı bir ifadeyle matematik ile felsefe arasındaki ilişkiyi vurgular. Aslında felsefe ile olan sıkı bağlantısı bilinen mantığın kendi bağlamında matematikle özdeşliği de Russell tarafından göz önünde bulundurulur. Bir ikinci sebep de dönemi için yeni olan yöntemin felsefi problemleri çözmede çalışıp çalışmadığını -yani işlevselliğini- okuyucuya sunmaktır. Bu yöntem kavram analizini ve sonuçlardan yola çıkılarak öncüllere ulaşılmayı (tümdengelim) ifade eder.
Eğer, matematiğin değişkenler ve mantıksal olarak ifade edilmiş -yani tamamen biçimsel- önermeler ile tanımlanabileceğini göstermektedir. (1. madde) Ayrıca eser, matematiksel bilginin hem emprisizmi hem de idealizmi reddedeceğinin ispatını sunmak açısından önemlidir. (2. madde)
(1) Matematiksel tümevarım ile gerçekleştirilen matematiksel ispatlar bile her zaman tümdengelimdir. Şu önerme incelenebilir:
Bütün insanlar ölümlüdür. (Öncül 1)
Sokrates bir insandır. (Öncül 2)
Dolayısıyla, Sokrates de ölümlüdür. (Sonuç)
Bu önermede Sokrates yerine Platon ya da Aristoteles yazsak da söylenen yine doğru olur. O zaman cümleyi şöyle kurabiliriz:
Eğer bütün insanlar ölümlüyse ve eğer x bir insansa, x ölümlüdür.
Bu ilk genellemedir. Fakat daha fazla genellenebilir. Yukarıdaki önermeyi doğru kılan “insan” ya da “ölümlülük” değil, onun iskeletidir. Yani şu ifade de doğru olacaktır:
Eğer herhangi bir a sınıfının (insanlar sınıfı) bütün elemanları, s sınıfının (ölümlü olanlar sınıfı) bir elemanı ise ve eğer x de (Sokrates, Platon, Aristoteles…) a sınıfının bir elemanı ise (İnsanlar sınıfı) o zaman x (Sokrates, Platon, Aristoteles…) s sınıfının da (ölümlü olanlar sınıfı) bir elemanıdır.
Russell’a göre bu ifade aynı durumu kanıtlayan katıksız mantıksal bir ifadedir. Russell matematiksel mantığın ya da pür matematiğin önermesini elde etmek için bu işlemi uygulamamız gerektiğini söyler. Böylelikle “mantıksal sabitlere” ulaşmış oluruz. Bu kavramı ise şu şekilde tanımlar: “Önermede bulunan ve değişken ile değiştirilmeye çalışıldığında yerini hâlâ koruyan bir sabit, mantıksaldır”. Yöntem tanımlaması ise şöyledir: “Bir tümdengelim alır ve terimlerini değişkenler ile değiştirirsek, sayılı bir kaç adım sonra tümdengelimde yerini hâlâ muhafaza eden belli bir gruba ait sabitler olacaktır ve eğer genellemeye devam etmek istersek her zaman için bu aynı gruba ait sabitler yerlerini muhafaza edecektir. İşte bu grup, mantıksal sabitlerin grubudur.”. Mantıksal sabit önermelerin kavramları içeriksel değil biçimseldir. Bunu bir fonksiyon şeklinde, yani f(x) olarak, düşünebiliriz. Buradaki “f(x)” mantıksal sabit, x’in yerine koyacağımız her içerik de değişkendir. Fakat Russell şunu söyler, bu işlemdeki içerik bize her zaman doğruyu vermez. Fakat tümdengelimleri böyle bir şekle indirgemek iki açıdan değerlidir: Birincisi herhangi bir gerçeği mümkün olduğu kadar genelleştirmek iyi bir şeydir; ikincisiyse bir emek tasarrufu meydana getirmemizi sağlamasıdır. Biz yukarıdaki Sokrates örneğinde Sokrates hakkında bilgi aldık. Bir başkası hakkında bilgi almak istediğimiz zaman yeniden bir önerme kurmamız gerecek. Fakat matematiksel mantıkta buna ihtiyaç yoktur, yani x üzerinden işlem yaparsak bu bütün x’ler için geçerli olacaktır.
(2) Görüldüğü üzere, matematiksel mantığın önermelerini duyu organlarıyla çıkarsamadık. Burada şuna dikkat etmeliyiz: Elbette Sokrates’in ölümlü olduğunu bilmek için duyu organlarına ihtiyaç vardır fakat yukarıda da belirttiğimiz üzere “Sokrates ölümlüdür” ifadesi bir önerme değil, öncülleriyle kurulmuş bir sonuçtur. Ayrıca “Sokrates bir insansa ölümlüdür” ifadesi de pür matematiğin bir ifadesi değildir. Burada kastedilen tamamen biçimsel önermelerden oluşmuş olan -yani değişkenler içerebilen ve mantıksal sabitliği olan- matematiktir. İşte bu matematiksel bilgiye ulaşma aşamasında biz, duyusal verilere başvurmuyoruz. Genel ifadeler, duyular yoluyla ifade edilişin ötesine geçer. Duyular bireyselken, genel ifadeler bireysel değildir. Eğer genel ifadelerin tümevarım yoluyla elde edildiğini iddia edersek “tümevarımın” gerçekliğini de yine tümevarım yöntemiyle elde etmemiz gerekir. Fakat tümevarım ilkesi de genel bir ifadedir. Russell bu genel ifadeyi şu şekilde tanımlar: “Bize herhangi iki özelliğin belli sayılı durumda beraber meydana geldiği bilgisi verilmiş olsun; bu özelliklerden birine sahip yeni durumun diğer özelliğe de sahip olması, bu özelliğe sahip olmaması durumunda daha muhtemeldir.” Bu durumda tümevarımın kendisi de bir tümdengelimdir. Yani tümevarım, duyu-tecrübe ilişkisinden yola çıkılarak elde edilmiş bir genelleme ya da gerçeklik değil, sadece çoğu zaman iyi sonuçlar oluşturması ve ilerde de buna devam etmesi kanaatiyle ortaya atılmış genel bir ifadedir. Tümevarımı kabul eden kişi, a priori evrensel mantık ilkelerine de ihtiyaç duyar. Russell için tümevarım, belli bir öncülü -yani tümevarım ilkesini- kullanan bir tümdengelimden başka bir şey değildir. Saf algılamada biz sadece belli olayların bilgisine ulaşırken, pür matematikte ise sadece mantıksal doğruların bilgisine ulaşırız. İşte o zaman sadece gözlemleyebileceklerimiz üzerine değil, aynı zamanda bütün olan ve olabilecek olaylar üzerine iddialarda bulunabiliriz. Bunları kabul eden kişi, geleneksel empirisizmin bir yanlış içinde olduğunu ve a priori evrensel bilginin varlığını kabul etmek durumundadır.
Kaynakça:
Russell, B. (2011a). Matematiksel Mantığın Felsefi Önemi. (İçinde Matematik Felsefesi, editör: Bekir S. Gür), Kadim Yayınları, İstanbul
Russell, B. (2011b). Matematiksel Felsefeye Giriş. (İçinde Matematik Felsefesi, editör: Bekir S. Gür), Kadim Yayınları, İstanbul
Russell, B. (2012). Batı Felsefe Tarihi – 3: Modern Felsefe. Alfa Yayınları, İstanbul.
Yazar: Aziz Ardıç
Düşünbil Portal’da yayımlanan, Düşünbil yazar ve çevirmenlerine ait herhangi bir yazı, çeviri, makale ve haber izin alınmadan basılı olarak ya da internet ortamında kullanılamaz, çoğaltılamaz, yayınlanamaz. İzinsiz kullananlar hakkında hukuki yollara başvurulacaktır. Düşünbil Portal’da yayımlanan tüm özgün yazıların içeriğinden yazarları sorumludur.