“Kısa” kelimesi kısadır; “uzun” kelimesi ise uzun değildir. Bu iki kelime birer özellikten bahsederler. “Kısa olma özelliği”, “kısa” kelimesinin kendisinde bulunan bir özelliktir. “Uzun olma özelliği” ise “uzun” kelimesinin kendisinde bulunan bir özellik değildir. Bazı özellikleri ifade eden kelimeler, ifade ettikleri özelliği taşırlar. Bazıları ise taşımazlar. Ancak bir özellik ifade eden kelimelerin tümü, ifade ettikleri özelliği ya taşırlar ya da taşımazlar. Üçüncü bir ihtimal düşünülemez.

Yukarıdaki cümleler iki değerli mantığa göre, yani önermelerin ya doğru ya da yanlış olduğu, bunun dışında bir seçeneğin olmadığı bir dünyayı varsayarak yazılmıştır. 1800lerin sonunda Gottlob Frege için de Doğru ve Yanlış vardı. Frege aritmetiği mantıksal temeller üzerine kurarken ve matematiğin mantığa indirgenebileceği tezini savunurken, fonksiyonların (özelliklerin) değer kümelerine doğru ve yanlış değerlerini atfediyordu. Bir özelliğe karşılık gelen bir nesneler kümesi olduğunu ve bu kümenin sadece bu özelliği taşıyan nesneleri kapsadığını varsaymıştı. Tabii bazı özelliklere karşılık gelen kümeler boş küme olacaktı ama boş küme de bir kümeydi. Ancak Bertrand Russell öyle bir özellik tanımladı ki, buna karşılık gelen kümenin var olması mümkün değildi.

“Kırmızı olma özelliği” bize kalabalık bir küme verir. Bu özellik bazı nesneler için doğru, bazı nesneler içinse yanlıştır. “Kare olma”, “pürüzlü olma” gibi özellikler olduğu gibi “beş elemanlı olma”, “başka bir kümeyle aynı değer kümesine sahip olma” gibi özellikler de tanımlanabilir, çünkü kümelerin kendileri de birer nesnedir. “Yuvarlak kareler” kümesi nasıl boş küme olacaksa, “hem boş küme olan hem de boş küme olmayan” kümelerin kümesi de boş kümedir. Diğer taraftan, “kısa” kelimesinin kısa olmasına benzer şekilde, bazı kümelerin elemanlarının sahip olduğu belirleyici özellik aynı zamanda bunların kümesi için de geçerli olacaktır. Örneğin kare olmayan nesnelerin kümesini düşünelim. Bu kümenin elemanlarını belirleyen özellik, kümenin kendisinde de vardır. Kümelerin geometrik şekilleri yoktur. Bu durumda, bu küme de kare olmayan bir nesnedir ve “kare olmayan nesneler kümesinin” yani kendi kendinin elemanıdır.

Kümelerin kendi kendilerinin elemanı olabileceği fikrinden yola çıkarak, Russell’ın dikkate aldığı özelliğe bakalım: Kendi kendinin elemanı olmama özelliği. Martılar kümesi bir martı değildir, sandalyeler kümesi de bir sandalye değildir. Yani martılar kümesi kendi kendinin elemanı değildir. Sandalyeler kümesi de kendi kendinin elemanı değildir. Bu türden tüm kümeler bir araya gelse, elde edilen şey kendi kendinin elemanı olmayan kümelerin kümesi olur gibi duruyor. Russell bu kümeyle ilgili şu soruyu sordu: Kendi kendinin elemanı olmayan kümelerin kümesi, kendi kendinin elemanı mıdır?

Martılar kümesine A diyelim; sandalyeler kümesine B diyelim. Kendi kendinin elemanı olmayan kümelerin kümesine de R diyelim. Yani R={A, B…}. R kümesi kendi kendinin elmanı mı diye bir bakalım:

R kümesinin elemanlarının taşıdığı ortak özellik “kendi kendinin elemanı olmama” özelliğidir. Bu kümenin elemanı olmak için “kendi kendinin elemanı olmamak” gerekir. Değerlendirilecek iki durum vardır: Birincisi, eğer R kümesi kendi kendinin elemanı değilse, o zaman gerekli özelliği sağlamaktadır. Bu durumda R kümesi, kendi elemanlarının taşıdığı özelliği taşıdığı için R kümesinin, yani kendi kendinin elemanıdır. Diğer durumda, eğer R kümesi kendi kendinin elemanıysa, o zaman kendi elemanlarının taşıdığı özelliği taşımamaktadır ve dolayısıyla kendi kendinin elemanı değildir. İki durum da başlangıçta yapılan varsayımın aksiyle sonuçlanmaktadır. Kısacası eğer R kümesi kendi kendinin elemanı değilse, kendi kendinin elemanıdır; eğer R kümesi kendi kendinin elemanıysa, kendi kendinin elemanı değildir. Russell’ın sorduğu soru bir paradoksa yol açmaktadır. Bunun anlamı: Her özellik bir küme tanımlamamaktadır.

Frege’nin sisteminin temelini oluşturan aksiyomlardan biri, bir özelliğin sadece kümenin elemanlarını değil, kümenin kendisini de ilgilendirmesini gerektiriyordu. Yani kümenin elemanlarıyla ilgili sorduğumuz soruları, kümenin kendisine de sorabilmemiz mümkündü. Eğer bir küme kendi kendinin elemanı olmayan kümeleri kapsıyorsa, Frege’nin sistemi “kendi kendinin elemanı olmayan kümelerin kümesi, kendi kendinin elemanı mıdır?” sorusuna açıktı. Ve Russell’ın gösterdiği gibi, bu soruya olumlu veya olumsuz bir cevap verilemiyordu. “Kendi kendinin elemanı olmama” özelliği her nesne için ya doğru ya da yanlış olabilen bir özellik değildi.

“Kendi kendinin elemanı olmama” özelliği için ne doğru ne de yanlış değerini alabilen R kümesi Frege’nin sisteminin kabul edeceği bir küme değildir ve bu Frege’nin sisteminde bir tutarsızlık olduğu anlamına gelir. Problemin temelinde iyi tanımlanmış herhangi bir özelliğin bir küme oluşturmakta kullanılabileceği düşüncesi yatmaktadır. Russell, bu düşünceyle matematik yapılamayacağını ortaya koymuştur.

Frege’nin amacı matematiğin mantıksal temellerini ortaya koymaktı. Matematiksel ilke ve kavramların mantıktan çıkarılabileceğini düşünüyordu. Kurduğu sistemle bunu başardığını düşünmüştü ama Russell paradoksu Frege’nin sisteminde bir delik açtı.

Bu problemi ilk keşfeden olmasa da, Frege’nin sisteminde yaratacağı yıkıcı etkiyi fark eden Bertrand Russell oldu ve bu mesele felsefe tarihinde “Russell Paradoksu” adıyla yer aldı. Russell 1901 yılında Frege’ye bir mektup yazarak bu meseleden bahsetti. O sırada Frege’nin Grunggesetze der Arithmetik (Aritmetiğin Temel Yasaları) kitabının ikinci cildi baskıya giriyordu ve mektup Frege’ye kurduğu sistemin temellerinde bir tutarsızlık olduğunu bildirmişti! Frege, günümüzde aritmetiğin kümeler kuramına indirgenmesi gibi standartların öncüsüdür. Dil üzerine yaptığı çalışmalar da dil felsefesinde günümüze kadar gelen etkiler yaratmıştır. Ancak Russell’ın bu keşfinin Frege üzerinde yıkıcı bir etkisi oldu. Frege modern mantığın doğuşunda oynadığı rolü bir yana bıraktı ve mantık gelişmeye devam ederken geride durdu.

Kaynakça:

Irvine, D. A., & Deutsch, H. (2016). Russell’s Paradox. Stanford Encyclopedia of Philosophy: https://plato.stanford.edu/entries/russell-paradox/ adresinden alınmıştır
Soames, S. (2014). The Analytic Tradition in Philosophy. Princeton University Press.

Yazar: Dilek Kadıoğlu

Düşünbil Portal’da yayımlanan, Düşünbil yazar ve çevirmenlerine ait herhangi bir yazı, çeviri, makale ve haber izin alınmadan basılı olarak ya da internet ortamında kullanılamaz, çoğaltılamaz, yayınlanamaz. İzinsiz kullananlar hakkında hukuki yollara başvurulacaktır. Düşünbil Portal’da yayımlanan tüm özgün yazıların içeriğinden yazarları sorumludur.