Sonsuzluk kavramı, tarih boyunca fizikten matematiğe, felsefeden edebiyata ve tasavvufa kadar birçok alanda kullanılmıştır. Sonsuzluk fikrinin bu alanların içinde özdeşleştirildiği bağlamlar tabii ki birbirinden farklı olabilir. Biz bu yazımızda felsefe ve matematikte kullanılan sonsuzluktan bahsedeceğiz. Bunu yaparken, okurun herhangi bir matematiksel altyapısı olmasına gerek duymadan, biraz matematiksel kavramlardan bahsedeceğiz.
Kavram olarak sonsuzluk, bilindiği kadarıyla, ilk olarak Antik Yunan’da Anaksimandros tarafından, varlığın özünün ne olduğunu ifade etmek için kullanılmıştır. Anaksimandros’a göre varlığın özü, uçsuz bucaksız sonu olmayan, her şeyi içinde bulunduran bir şeydir. Bu öze apeiron denmiştir. Kelime anlamı sınırsız, sonsuz anlamına gelir. Anaksimandros’a göre apeiron her ne kadar güzellik barındıran olumlu bir şey olarak görülmüş olsa da yakın dönemlerde Pisagorculara göre apeiron, tam tersine kötü, çirkin, anlaşılmaz, olumsuz bir şey olarak görülmüştür. Pisagorculara göre elbette apeiron’un bu şekilde görülmesinin sebebi, kendi öğretileri olan Pisagorculukta, apeiron’un hiçbir şekilde doğal sayılarla (0, 1, 2, 3, 4,… şeklinde giden sayılar) ifade edilememesidir. Pisagorculuk, evrendeki her şeyin doğal sayılarla veya doğal sayıların birbiriyle olan oranlarıyla, ilişkileriyle açıklanabildiğini savunmuştur. Pisagorculukta evrendeki her şey ve evren düzeni doğal sayı ile açıklanabilir. Doğal sayı dediğimiz nesne tabii ki sonlu bir bilgiye sahip nesnedir. Örneğin 100 sayısını, 100 adet çubuğun veya 100 adet halkanın bir araya gelmiş hali olarak düşünebiliriz. Her doğal sayı, sonlu bir bilgiyle açıklanabilir bir kavramdır. Apeiron, varlığın özü olan sınırsız şey olduğuna göre, sınırsız olan bir şey sınırlı bilgiye sahip olan doğal sayı ile betimlenemez. Pisagor Teoremi’nden bildiğimiz gibi birim uzunlukta bir dik üçgen alındığında hipotenüsün uzunluğu √2’dir. √2 sayısı kesirli bir sayı değildir, iki doğal sayının oranıyla açıklanamaz. Yani irrasyonel bir sayıdır. Pisagorcular, bu sayıya alogos demiştir. Yani hakkında konuşulamaz, muhakeme edilemez, açıklanamaz bir şey. Çünkü açıklanabilir olan şeyler Pisagorculara göre sadece doğal sayıların birbiriyle olan ilişkisiyle ya da oranlarıyla olmalıdır.
Platon’a baktığımızda sonsuzluk kavramı, mutlak bir bütün nesne yani bir totalite olarak kabul edilmiştir. Platon’un idealar kuramına göre, her nesnenin idealar dünyasında mutlak ve mükemmel bir formu olduğu gibi, sonsuzluk kavramı da mutlak bir totalite olarak idealar dünyasında var olmalıdır. Ancak Aristoteles’ten sonra uzun bir süre sonsuzluk kavramı mutlak bir totalite olarak değil, potansiyel bir nesne olarak ele alınmıştır. Bilindiği gibi Aristoteles’in felsefe tarihine en önemli katkılarından biri, varlık ile yokluk arasında bir durumu yani potansiyellik fikrini ortaya atmış olmasıdır. Platon’un kuramında gerçekten de sonsuzluk kavramının mutlak bir idea olarak var olduğunu düşünebiliriz. Sonsuzluğu bir totalite nesne olarak düşünmek, mutlak sonsuzluk fikrini kabul etmeyi getirmiştir. Ancak Aristoteles’te sonsuzluk, tamamlanmış ve mutlak bir halde değil, potansiyel halde yani hiç bitmeyen bir süreç olarak vardır. Bunu bir örnekle açıklamaya çalışalım. Doğal sayıları 0,1,2,3,4,… şeklinde giden sayılar olarak anlarsak, bu yazdığımız diziyi hiç bitmeyen ve sürekli devam eden bir süreç olarak görebiliriz. Her sayıdan sonra gelen bir sayı yazabiliriz. Bu bize hiç bitmeyen bir dizi tanımlama imkanı sunar. Bu dizi, sürekli devam eden bir potansiyelliktir, tamamlanmış değildir. Ancak doğal sayıları bütün olarak, sanki tamamlanmış bir totalite şeklinde, bir topluluk halinde ele almak da mümkündür. Bunu da N={0,1,2,3,…} olarak gösterelim. Burada N, doğal sayıları içeren bir topluluktur. Bu topluluğun kendisini, Platon’un kuramında olduğu gibi, bir nesne olarak aldığımız zaman, N nesnesi bütün doğal sayıları içeren tamamlanmış bir topluluk olarak görülür. Önceki yazdığımız dizi, hiç bitmeyen, sürekli devam eden bir süreçtir. Bu süreç bitmiş değildir, dizinin sonsuza doğru devam ettiğini görürüz ancak bu süreci bir totalite nesne olarak ele almayız. Eğer ki alırsak bu tamamlanmış nesne mutlak sonsuzluğun kendisi olmuş olur.
Potansiyel sonsuzluk fikrini kullanan bir diğer düşünür, Platon’un öğrencilerinden biri olan Antik Yunan matematikçi Eudoxus olmuştur. Eudoxus aynen Aristoteles gibi potansiyel sonsuzluk fikrini benimsemiştir. Tüketme yöntemi adını verebileceğimiz, dairenin alanını hesaplamak maksadıyla bir yaklaşım metodu geliştirmiştir. Buna göre bir daire çizdikten sonra dairenin içine bir kare çizersek, karenin alanı pek tabii dairenin alanından daha küçük bir değer olur. Dairenin içine kare yerine altıgen çizersek daire şekline biraz daha yaklaşmış oluruz. Altıgen yerine sekizgen ve benzer şekilde başka çokgenler çizersek, kenar sayısının artmasıyla elde edilen çokgenin alanının dairenin alanına daha çok yaklaştığını görürüz. Sonsuz kenarlı bir çokgen çizilemeyeceği için hiçbir zaman dairenin alanı bu yöntemle kesin olarak hesaplanamaz, ancak kenar sayısı ne kadar çok olursa dairenin alanına o kadar fazla yaklaşmış oluruz. Kenar sayısını sonsuza dek artırabilme imkanına sahibiz. Bu yöntem, matematikte potansiyel sonsuzluğun nasıl kullanıldığına dair bir örnektir.
Sonsuzlukla ilgili meselelerden biri Elealı Zeno’nun paradokslarıdır. Zeno, İtalya’nın güney sahilinde yaşamış Antik Yunan düşünürüdür. Paradokslardan biri, yaydan çıkan bir okun hedefine varıp varmamasıyla ilgilidir. Yaydan çıkmış bir okun hedefine ulaşması için, mantık olarak, önce gideceği hedefin yarı yolunu tamamlamış olması gerekir. Bu noktaya A diyelim. Bu kez, okun A’dan hedefe ulaşması için A ile hedef arasındaki yarı yolu tamamlaması gerekir. Bu noktaya da B diyelim. Aynı argümanı B noktası için uygularsak ve bu şekilde devam edersek sonlu adımda hiçbir zaman okun nihai hedefine varamayacağını görürüz. Okun nihai hedefine varması için sonsuz adım gerçekleşmesi gerekir. O halde bir yerden bir yere gitmek için sonsuz adımın tamamlanması gerekir. Sonsuz adım tamamlanamayacağına göre hareket fiili imkansızdır. Ancak fiziksel olarak görünürde hareket elbette mümkündür. Bu ikileme Zeno paradoksu denmiştir. Bu problem 17’nci yüzyılda Newton ve Leibniz tarafından kalkülüs (türev ve integral matematiği) geliştirilene kadar bir paradoks olarak kalmıştır. Kalkülüs’ün geliştirilmesiyle, Zeno paradoksundaki sürekli yarıya böldüğümüz bütün bu yolların toplamının gerçekten de nihai hedefe eşit olduğu gösterilmiştir.
Ortaçağ devrine baktığımızda çoğunlukla İslam coğrafyası filozoflarının etkili olduğunu görürüz. Kindi, Gazzali, Farabi, İbn-i Sina, Ömer Hayyam başta olmak üzere birçok filozof mantık ilmi ve sonsuzluk üzerine düşünmüştür. Bu düşünce deneylerinden biri, daha sonraları Galileo paradoksu olarak bilinen bir probleme dönüşmüştür. Galileo paradoksu, sonsuz tane nesne barındıran iki tane kümenin birbirine sayıca denk olup olmadığını tespit etmekle ilgilidir. Doğal sayılar kümesi N={0,1,2,3,…} olarak gösterilsin. Çift sayılar kümesi ise Ç={0,2,4,6,…} ile gösterilsin. Bu iki kümenin büyüklüğü aynıdır. Çünkü N’den herhangi bir n sayısı alındığında Ç kümesinde 2n’ye götüren bir eşleme tanımlanabilir. Peki nasıl oluyor da Ç’de daha “az” sayı görünüyorken iki kümenin büyüklüğü aynı olabiliyor? Buna Galileo paradoksu denmiştir. Tabii sonsuzluğun matematiksel kuramı henüz o dönemde geliştirilmemiş olduğundan dolayı bu problemin bir paradoks olarak görülmüş olması doğaldır. Halbuki 19’uncu yüzyılda Georg Cantor, kümeler kuramını geliştirerek sonsuzun matematiksel kuramını da beraberinde geliştirmiştir.
Cantor, sonsuzluk kavramını matematiksel kuram haline getiren ilk kişidir. Kümelerin büyüklüklerinin karşılaştırılmasını ele alalım. Sonlu sayıda eleman içeren kümelerin büyüklüklerini birbirleriyle karşılaştırmak kolay. Kümenin elemanlarını sayarak iki kümenin aynı sayıda eleman içerip içermediğini görebiliriz. Sonsuz kümeleri aynı yöntemle sayma işlemiyle karşılaştıramayız. Ancak iki kümenin elemanları arasında birebir eşleme varsa bu iki kümenin büyüklükleri aynıdır. Sonsuz kümeler için verdiğimiz yukarıda N ve Ç kümeleri de böyledir. Elemanları arasında birebir eşleme olduğu için N ve Ç kümelerinin büyüklüğü aynıdır.
Cantor’un en mehşur teoremlerinden biri, her kümeden daha büyük bir küme olduğudur. Sonlu kümeler için bu sonuç çok ilginç gelmeyebilir. Ancak sonsuz kümelere bu teorem uygulandığında her sonsuzdan kesin olarak daha büyük bir sonsuz olduğu anlaşılır ki buradan matematikte tek bir sonsuzun olmadığı görülür. Cantor ile beraber sonsuz kümelerin matematikte birer nesne olarak kullanılmasıyla aslında matematikte bu dönemden itibaren mutlak sonsuzluk kavramının kullanıldığını söyleyebiliriz. Sonsuz kümelerin varlığını kabul etmek, bunlarla işlemler yapmak, birleşim almak kesişim almak çarpmak veya benzeri işlemler yapmak yalnız ve yalnız mutlak sonsuzluk kavramını kabul etmekle mümkündür.
Sonsuz küme, matematikte her ne kadar tanımlanmış bir nesne olsa da sonsuzun metafiziksel mahiyeti elbette gizemini koruyan bir kavram olmaya devam edecektir.
Yazar: Ahmet Çevik
Düşünbil Portal’da yayımlanan, Düşünbil yazar ve çevirmenlerine ait herhangi bir yazı, çeviri, makale ve haber izin alınmadan basılı olarak ya da internet ortamında kullanılamaz, çoğaltılamaz, yayınlanamaz. İzinsiz kullananlar hakkında hukuki yollara başvurulacaktır.