19’uncu yüzyıl matematiksel bilimleri nasıl etkiledi?

Avrupa aydınlanması hiç şüphesiz Avrupa toplumlarının kalkınması için çok önemli bir atılım olmuştur. Sömürgecilikten gelen zengin kaynaklara erişme imkanı, Avrupa’nın diğer toplumlara göre daha çok ilerlemesindeki başlıca nedenlerden biri olarak görülebilir. Aydınlanmayı tamamlayan devrimler olan Fransız devrimi ve sanayileşme ile, Avrupa, tarihinin en güçlü dönemlerinden birini yaşamıştır. Ancak bu dönem içinde, özellikle Victorian devrinde, Avrupa’da bir hubris (kibir) sendromunun oluştuğu açıkça gözlemlenebilir. Nitekim sömürgeciliği kendince meşru kılmak için ortaya atılmış sözde bilimsel ırkçılığın temelleri Avrupa aydınları tarafından bu devirlerde yazılmıştır. Bu konuyla ilgili ilk yazılardan biri, Arthur de Gobineu’nun An Essay on the Inequality of the Human Races (İnsan ırklarının eşitsizliği üzerine bir makale) adlı çalışmasıdır. Gobineu’nun böyle bir makale yazmasına neden olan etkenlerin arasında elbette Avrupa’nın sömürgeci politikalarına kendince bilimsel bir dayanak bulma çabası da olmalı. 19’uncu yüzyıl Avrupası’nda ırk temelli bakış açısı bugün geçerliliğini sürdüren bilimsel teorilerde de kabul görmüştür. Örneğin, Charles Darwin’in evrim teorisinin temelinde türler arası çatışmacı bir düşünce yattığı görülür. Avrupa aydınları, kendi tarihsel gelişimine bakarak bütün bu düşüncelerle beraber Avrupa’nın kendisini “üstün” nitelikli insanlar olarak görmesine ve bunun dışındaki ırkları medenileşmemiş ırklar olarak görmesine neden olmuştur. Nietzche’nin übermensch yaratması ve insanın tanrıyı öldürmesi ya da insanın artık metafiziksel mefhumlara ihtiyacının kalmadığı, bu fikirlerin ürünü değil midir? Wagner’in operalarındaki Yahudi karşıtlığına bu fikirler sebep olmamış mıdır? Nazilerin öjeni projeleri ile üstün bir saf ırk yaratma çabaları bir hubris sendromunun sonucu değil midir? Avrupa’da o dönemlerde ırkçı bir bakış açısının ve ırk farklılığının felsefede, edebiyatta, sanatta ve hatta bilimde hakim olduğu inkar edilemez.

İnsanın kendi kabiliyetine, aklına ve bilime aşırı derecede tapması, her olgunun basite indirgenmesini ve bütün problemleri çözüme kavuşturma düşüncesini doğurmuştur. Her ne kadar 19’uncu yüzyılda bazı bilim insanları tarafından ignoramus et ignorabimus (bilmiyoruz, bilemeyeceğiz) düşüncesini savunan aydınlar olmuşsa da bazı aydınlar da bunun aksine bir tür “bilinebilirlik” felsefesini savunmuştur. Buna göre insan, başta Avrupa insanı, gelecekte bütün bilimsel problemleri çözecek ve çözülemeyecek hiçbir problem kalmayacaktır. Ünlü Alman matematikçi David Hilbert, 1930’daki Königsberg bildirisinde şöyle demiştir:

“Biz bilinemeyecek şeylerin olduğuna inananlara inanmamalıyız. Matematikçiler için bilinmezlik yoktur, hatta ki fikrimce bütün doğa bilimleri için de böyledir… Çözülemez bir problemin varlığını bulamamızın gerçek nedeni fikrimce zaten çözülemez problemlerin olmadığındandır. Aksini iddia edenlere karşı sloganımız şudur: Bilmeliyiz, bileceğiz!”

Hilbert’in bu fikirleri savunmasının arkasında, insanının üstün nitelikli bir varlık olmasının yanında bilimin her türlü problemi çözebilecek kapalı bir sistem olduğuna inanması yatmaktadır. Bu son fikir esasen Leibniz’e dayanır. Leibniz, kurmak istediği evrensel dil (characteristica universalis) yardımıyla herhangi bir bilimsel problemle karşılaşıldığında problemi çözmek için sadece ve sadece hesaplama yaparak mutlak bir neticeye ulaşmayı amaçlamıştır. Leibniz’in bu fikrini kısmen hayata geçiren kişi ünlü mantıkçı Gottlob Frege olmuştur. Frege, matematiği sadece mantığa indirgemeyi amaçlamıştır. Aritmetiği mantığa indirgemekte kısmen başarılı da olmuştur. Frege’nin başarılı olamadığı nokta, soyutlama için ortaya attığı Beşinci Temel Kanun adlı bir prensiptir. Frege ile yakın dönemde çalışmalar yapan matematikçi Georg Cantor, kümeler kuramını matematiğe kazandırmıştır. O dönemde kümeler kuramıyla beraber herhangi bir koşulu sağlayan gelişigüzel bir topluluğun bir küme olduğu varsayılmıştır. Örneğin, siyah kapaklı kitaplar topluluğu, 5’ten büyük sayılar topluluğu, içinde 3’e bölünebilen sayıları bulunduran kümeler topluluğu, içinde bütün asal sayıları bulunduran topluluk, içinde elemanı sonlu sayıda olan kümeler topluluğu, vs. Aklımıza hangi topluluk geliyorsa, o topluluk bir küme olmalı. Ancak kümelerle ilgili Bertrand Russell’ın bulduğu Russell Paradoksu, gelişigüzel herhangi bir şekilde tanımlanmış bir topluluğun bir küme olduğu varsayımını çürütmüştür.

Russell ve Whitehead, 20’inci yüzyılın başında Principia Mathematica adında 3 ciltlik bir eser çıkarmıştır. Bu eserin tek başına bir cildi baştan sona “1+1=2” eşitliğini yalnızca mantıksal kanunlara dayandırarak ve hiçbir şekilde mantıksal dil dışında bir dile başvurmadan kanıtlamıştır. Bir nevi delilik olarak nitelendirebileceğim bu girişimle bilinebilirlik akımının doğrudan bir ilişkisi olduğunu düşünüyorum.

Burada bilinebilirliğin felsefeye sanata siyasete etkisinden söz etmeyeceğim. Bir matematikçi olduğum için daha çok matematiğe etkisinden bahsetmem daha doğru olur. Bilinebilirlik akımı, gerçek hayattan daha soyutlanmış bir etkinlik olan matematiği bile doğrudan ve temellerinden etkilemiştir, matematiğe farklı bir boyut, farklı bir yöntem kazandırmıştır. Hatta daha da ileri gidersek, matematiği mekanik hale getirmeyi başta amaçlayıp bunu başaramamış, ancak bu sayede bilgisayar biliminin oluşmasına neden olmuş ve bilgisayar programlama imkanını bizlere sunmuştur.

Matematiğin ve felsefenin yönteminden Düşünbil Portal’da bir önceki yazımızda bahsetmiştik. Bunları bu yazıda tekrarlamayacağız. Günümüz modern matematiğin yöntemsel olarak kurucu medeniyeti olan Antik Yunan’da matematik, esasen geometri ile başlamıştır. Aksiyomatik yöntemin ilk örneklerinden biri Öklid’in Elements adlı eseridir. Öklid, nokta, doğru, vs. gibi kavramlardan yola çıkarak geometriyle (3 boyutlu Öklid geometrisinden bahsediyoruz, Öklid dışı geometriler bu yazının konusu dışındadır) ilgili çeşitli teoremler kanıtlamıştır. Aslında Sokrat öncesi dönemde Pisagorcular da bir nevi “indirgeme” fikrini benimsemiştir. Pisagorculara göre evrende bir düzen vardır ve evrendeki her şey doğal sayılarla veya sayıların birbirlerine oranları ile ifade edilebilir. Pisagorculuk, doğal sayıları evrenin adeta kurucu unsurları olarak görür ve her şey en nihayetinde doğal sayılardan çıkar. Aksiyomatik yöntem, ortaçağdan itibaren etkisini uygulamalı bilimlere bırakmıştır. Rönesans özellikle fiziği ön planda tuttuğundan dolayıdır ki fizik ile matematik beraber geliştirilmiştir. Ancak 19’uncu yüzyılda temelde Frege ve Cantor’un çalışmaları ile tekrar matematikte yöntemsel olarak bir geriye dönüş akımı başlamıştır. Matematiği kümeler kuramının getirdiği paradokslardan arındırmak ve matematiği mutlak anlamda tutarlı hale getirmek, her matematiksel probleme bir cevap verebilen ve matematiksel düşünmeyi sadece mekanik adımlarla yapılabilecek bir hale getirmek için Hilbert müthiş bir biçimselleştirme programı başlatmıştır. Bu proje, şahsi fikrime göre, ütopik bir düşünce olmanın yanında, matematik gibi insanı özgür bırakan bir etkinliği mekanik bir hesaplamaya hapsetmektir. Hilbert elbette bunları amaçlamamış olabilir, ancak projenin doğuracağı sonuç bundan farklı olamazdı. Hilbert’in matematiği biçimselleştirme programı, öncelikle matematik için biçimsel bir dil tasarlamayı amaçlar. Bu biçimsel dilde yazılmış aksiyomlar olmalı ve aksiyomlardan bütün matematiksel “gerçekler” kabul edilen mantıksal veya sembolik çıkarım kuralları ile elde edilmeli. Dahası bu çıkarım belirli bir algoritma takip edilerek yapılmalı. Herhangi bir matematiksel önermenin doğru olup olmadığına bir algoritma sonucunda karar verilebilmeli. Hatta bu aksiyomatik sistem çelişkisiz (tutarlı) ise, çelişkisiz olduğu da sistem içinden kanıtlanmalı.

Kurt Gödel’e çok ayrı bir önem veriyorum. Gödel, Aristoteles ve Frege’den sonra gelen en büyük mantıkçılardan biridir. Sadece matematiğe değil, felsefeye de büyük katkıları olmuştur. Gödel, Hilbert’in programını bütünüyle elde etmenin imkansız olduğunu matematiksel bir teorem olarak kanıtlamıştır. Gödel, yeterince aritmetiği ifade eden sistemlerin hiçbir zaman kendi tutarlılığını kanıtlayamayacağını göstermiştir. Bu sonuçla beraber bilinebilirlik akımının etkisinde kalan matematik dünyasındaki ütopik fikirlere bir balyoz inmiştir. Gödel’in teoremleri insanların ayaklarının tekrar yere basmasına yardımcı olmuştur. Gödel’in teoremlerinden sonra algoritma kavramını daha iyi anlamak için algoritmaları betimleyen çeşitli modeller öne sürülmüştür. Matematiğin tamamını biçimselleştirmek mümkün olmasa da Hilbert’in programındaki başarısızlık böylece bilgisayar biliminin kapılarını açmıştır.

Kaynaklar:

K. Gödel, Über formal unentscheidbare Satze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, Monatsch Math. und Phys., 38, s. 173-198 (1931).
G. Frege, Aritmetiğin Temelleri, sayı kavramı üzerine mantıksal- matematiksel bir inceleme, 1884. Çeviren: H. Bülent Gözkan, Yapı Kredi Yayınları (2008).
D. Hilbert, Über das Unendliche, Mathematische Annalen, 95, s. 161- 190, 1925; On the infinite, P. Benacerraf ve H. Putnam: Philosophy of Mathematics: Selected readings adlı eserde, s. 183-201, Cambridge University Press (1983).

Yazar: Ahmet Çevik

Düşünbil Portal’da yayımlanan, Düşünbil yazar ve çevirmenlerine ait herhangi bir yazı, çeviri, makale ve haber izin alınmadan basılı olarak ya da internet ortamında kullanılamaz, çoğaltılamaz, yayınlanamaz. İzinsiz kullananlar hakkında hukuki yollara başvurulacaktır.