Bu yazıda René Descartes’ın meşhur “düşünüyorum, varım” şüphe deneyi ile matematikte sıkça kullanılan diyagonal (köşegen) yöntemin arasındaki ilişkiden bahsedeceğim.

Yalancı paradoksu’nu birçok kişi duymuştur: “Bu cümle yalandır” cümlesi doğru mudur, değil midir? Doğruysa, doğru olmamalı çünkü cümle kendisinin yalan olduğunu söylüyor. Doğru değilse, cümle gerçekten yalan olmalı, ancak bu demektir ki cümlenin söylediği şey doğru. O zaman cümle ne doğru ne yanlış. Böyle bir cümle paradoksaldır.

Neden özellikle “bu cümle yalandır” paradoksal oluyor da başka cümlelere gönderme yapan “şu cümle paradoksaldır”, “o cümle paradoksaldır” her zaman paradoksal olmayabiliyor? İki tane cümle ele alalım, bunları aşağıda C1 ve C2 olarak gösterelim.

C1: “2+2=5”

C2: “C1 cümlesi yanlıştır”

C1 cümlesi açıkça yanlış. Bu yüzden C2 cümlesinin söylediği şey doğru. C1 “2+2=4” gibi doğru bir cümle olsaydı, C2 bu kez yanlış bir cümle olurdu. C2 cümlesi kendisinin dışında bir cümlenin yanlış olduğunu söylüyor ve burada herhangi bir paradoks söz konusu değil. Şimdi de başka bir örnek verelim.

“Sonraki cümle doğrudur. Önceki cümle yanlıştır.”

Yukarıda yazdığımız cümle yalancı paradoksunda olduğu gibi paradoksaldır. Her ne kadar burada iki tane cümle olsa da ve bunlar kendisine doğrudan gönderme yapmasa da cümleler birbirlerine gönderme yaparak devirsel bir durum ortaya çıkarıyor. Verdiğimiz örnek yalancı paradoksuyla aynı kalıba sahiptir.

Cümlenin kendisine gönderme yapması bazı durumlarda paradoksa neden oluyor. Ancak her durumda değil. Örneğin “bu cümle doğrudur” cümlesi her ne kadar kendisine gönderme yapsa da paradoksal değildir. Cümle gerçekten doğruysa doğrudur, gerçekten yanlışsa yanlıştır. Paradoksal durumlar, çoğunlukla, olumsuzluk ile kendine gönderimin (self-reference) bir arada kullanılmasıyla ortaya çıkıyor.

Şimdi, “x sayısı 5’ten büyüktür” gibi önermelere açık önerme diyelim. Açık önerme diyoruz çünkü önermenin doğruluk değeri x’e bağlıdır. Örneğin, x yerine 6 koyarsak “6 sayısı 5’ten büyüktür” cümlesini elde ederiz ve bu cümle doğru olur. Ancak x yerine 2 koyarsak “2 sayısı 5’ten büyüktür” cümlesi yanlış olur. Şimdi, x değişkeni doğru veya yanlış değeri alabilecek herhangi bir önermeyi ifade etsin. “x cümlesi yanlıştır” açık önermesinde x değişkeni yerine cümlenin kendisinin dışında bir cümle koymak sorun yaratmayabilirken, x değişkeni yerine cümlenin kendi gönderimini koyarsak “bu cümle yanlıştır” halini alır ki bu da yalancı paradoksu olur.

“x cümlesi yanlıştır” ve benzeri açık önermelerdeki x değişkeni yerine cümlenin kendi gönderimini yerleştirmeye diyagonal yöntem diyoruz. Bu çok kaba bir tanım ancak şimdilik bu şekilde kabul edelim. Yani, “x cümlesi yanlıştır” açık önermesinde x yerine cümlenin kendi gönderimi olan ‘bu’ öznesini koyarsak “bu cümle yanlıştır” olur ve önermenin diyagonal’ını almış oluruz. Buna neden “diyagonal” (köşegen) dendiği bu yazının amacı dışında kalıyor. Ancak Georg Cantor’u bilen okurlar bunun nedenini hatırlayacaklardır. Neden diyagonal yöntem dendiğini belki daha sonraki bir yazıda inceleyebiliriz.

Descartes (1641), meşhur şüphe deneyinde varlığın gerçekliğini sorgulamış ve zihin-beden arasındaki ayrımı ortaya koymaya çalışmıştır. Bir an için hiçbir şeyin gerçekte var olmadığını düşünelim. Önümüzde duran masa, yanımızdaki bir bardak kahve, kitap, kalem, arabalar, evler, ağaçlar, hayvanlar vs. Bir an için her şeyin varlığından şüphe duyalım. Gördüğüm duyduğum her şey gerçekte bir yanılgı olabilir. Descartes’ın deyimiyle bir “kötü cin” tarafından kandırılıyor olabilirim. Sanki bütün bu nesneler varmış gibi kötü cin duyularımı yanıltıyor olabilir. Bütün şeylerin varlığından şüphe duyalım. Masa var mı? Yok. Bardak var mı? Yok. Ağaçlar var mı? Yok. Şu kişi veya bu kişi var mı? Yok. En sonunda kendimize gönderme yapalım. Ben var mıyım? Olmadığımı varsayalım. Ben eğer var olmasam şu anda şüphe duyamam ve zihnimin içinde bu şüphe deneyini yapamam. Şüphe duyuyorum, yani düşünüyorum, yani varım (dubito, ergo cogito, ergo sum).

Descartes’ın bu deneyi bilim felsefesinde ve metafizikte oldukça önemli bir yere sahip. Zihin-beden arasındaki ilişki konumuzun dışında kaldığı için bir kenara koyalım. Ancak bu deneyle Descartes, en az bir şeyin (‘ben’ ya da şüphe yapan o şey neyse) mutlak varlığını iddia etmiştir. Bu argüman aslında ontolojik evrenin boş olmadığını gösteriyor. Bilim de bu sayede anlam kazanıyor. Boş olan bir evrende neyin bilimini yapabilirdik? Sayılar veya geometrik nesneler var olmadan matematik yapmaya benzer bu. Bilim, bir şey var olmadan anlam kazanabilir miydi? Modern bilimin Descartes ile başlaması kısmen bu nedenledir. Önce ontoloijik evrenin boş olmadığı gösterilmeli ki nesnelerin bilimini yapmak mümkün olsun. Aksi halde boş bir evrenden sadece yokluk çıkar. Descartes’ın argümanını bu nedenlerden dolayı oldukça önemli bulduğumu söylemeliyim.

Şüphe deneyi mantıksal bir çıkarım mıdır yoksa düşünmek/şüphe etmek ile var olmak eşdeğer şeyler midir? Bu soru ayrı bir incelenme gerektiren çok felsefi bir problemdir. Jaakko Hintikka (1962), bu problemi çalışmasında detaylıca incelemiştir. Ancak biz konunun bu meselesini ele almıyoruz.

Bir başka dikkat çekmek istediğim şey, matematiğin çeşitli teoremlerinde kullanılan diyagonal yöntemin aslında Descartes’ın şüphecilik yöntemi ile çok benzer olduğunu vurgulamak. Descartes’ın bu yöntemi bir diyagonal argümandır denebilir. “x yoktur” cümlesinde x yerine “ben” ya da “kendi” ya da şüphe eden “şey” konulduğunda “ben yokum” gibi bir cümle elde edilir. Buradaki “ben” ya da şüphe eden “şey” öznesini x değişkeni yerine koymak “x yoktur” cümlesinin diyagonalını almaktır.

Benzer yöntemin matematikte sıkça kullanıldığını görebiliriz. Georg Cantor, 19’uncu yüzyılda sürekli olan bir reel sayı doğrusundaki noktaların sayma sayılardan çok daha fazla olduğunu göstermiştir. Yani 2,71828… şeklinde giden sonsuz basamaklı ondalık sayı olarak bildiğimiz reel sayılar, gündelik hayatta kullandığımız sayma sayılardan çok daha fazladır, hem de sayılamayacak kadar fazla.

Diyagonal yöntem, daha önceki bir yazımızda bahsettiğimiz Gödel’in Eksiklik Teoremi’nin kanıtında da kullanılmıştır. Hatta, bilgisayar virüslerinin (kendi kodunu kopyalayan program) kuramsal olarak yazılabilmesinin mümkün olduğunun temelinde bile bu yöntem vardır.

Kaynaklar: 

Descartes, Meditations on First Philosophy: With Selections of Objections and Replies, ed. J. Cottingham, Cambridge University Press, 1996.

Hintikka, “Cogito, ergu sum: Inference or performance?”, Philosophical Review, 71(1), 3-32, 1962.

Yazar: Ahmet Çevik

Düşünbil Portal’da yayımlanan, Düşünbil yazar ve çevirmenlerine ait herhangi bir yazı, çeviri, makale ve haber izin alınmadan basılı olarak ya da internet ortamında kullanılamaz, çoğaltılamaz, yayınlanamaz. İzinsiz kullananlar hakkında hukuki yollara başvurulacaktır. Düşünbil Portal’da yayımlanan tüm özgün yazıların içeriğinden yazarları sorumludur.