Ülkemizde matematik denilince sadece sayılar, sayma, hesap yapma, denklem çözme, çarpanlara ayırma, bölme, çarpma vs. gibi şeyler akla gelir. Halbuki matematiğin yöntemini belirleyen soyut matematikten ve aksiyomatik yöntemden öğrencilere üniversiteye kadar bahsedilmez. Hiç sayıları, geometrik şekilleri veya başka sembolleri kullanmadan sadece kavramsal düzeyde sözel olarak da matematik yapabiliriz. Ancak bunun için bir “temel” kabul etmemiz şarttır. Sonra bu temelden oyunun kurallarına göre (mantık ya da sembolik çıkarım) yeni önermeler elde ederiz.
Ünlü mantıkçı Gottlob Frege, her iyi felsefecinin aynı zamanda bir matematikçi, her iyi matematikçinin ise aynı zamanda bir felsefeci olması gerektiğini söylemiştir (Aspeita, 2000). Matematiğin yönteminin mantıksal araçlara dayandığını varsayarsak, İngiliz filozof Bertrand Russell da (1919) Frege’yle benzer bir fikre sahip olmuştur. Russell, mantığın ve matematiğin başta farklı kollardan geldiğini, ancak sonradan bu iki disiplinin bütünleştiğini dile getirmiştir.
Felsefi yöntem, özü gereği, bir sorgulama zincirine ihtiyaç duyduğu için felsefe aktivitesi düşünce ilkelerine ve mantık kanunlarına başvurmak durumundadır. Matematik ise mutlaka bir başlangıç ilkesine ihtiyaç duymak zorundadır. Ne şekilde bir matematik felsefesi benimsediğimize ve bakış açımıza bağlı olarak bu başlangıç ilkelerinden, mantık kanunlarından ya da simgesel çıkarım kurallarından yola çıkarak, ya yeni bilgiler türetiriz ya da ortaya bir sav atıp bu savın başlangıçta kabul ettiğimiz ilkelerle olan ilişkisine bakarız. Yani savın, başlangıçta kabul ettiğimiz varsayımlara indirgenen kanıtını ararız. Bu indirgeme fikrine “aksiyomatik yöntem” diyoruz. Kabul ettiğimiz varsayımlara “aksiyom” diyoruz. Aksiyomlar, kanıta ihtiyaç duymayan, doğruluğu kabul edilen savlardır. Aksiyomsuz bir matematiksel kuram geliştirilemez, kuramın kendisine dahi başlanamaz.
Demek ki matematiksel bir disiplin, aksiyomlarla başlar. Aksiyom olmadan matematik yapılamaz. Aksiyomlardan çıkan mantıksal sonuçlar bize “yeni” önermeler verir. Bir benzetme yaparsak, ham maddeleri birer aksiyom, ham maddeden düzenli bir şekilde elde edilen maddeleri de birer teorem olarak düşünebiliriz. Bu benzetmeye göre bir takım malzemelerden yemek yapmak ile matematikte bir sav ortaya atmak arasında yöntemsel olarak pek bir fark yoktur.
Felsefe tarihinin en önemli filozoflarından biri olan Immanuel Kant (1781), Saf Aklın Eleştirisi’nde, felsefe ile matematiksel bilginin ayrıldığını düşünmüştür. Kant’a göre önermeler, a priori ve a posteriori olmak üzere ikiye ayrılır. Burada a priori önermeler, doğrulanabilmesi için fiziksel deneye ihtiyaç duymayan, doğruluk değeri zorunlu ve evrensel olan önermelerdir. Örneğin, “5+7=12” veya “Öklid uzayında bir üçgenin iç açılarının toplamı 180 derecedir” gibi. Öte yandan a posteriori önermeler ise doğruluk değeri fiziksel deneye bağlı olan önermelerdir. Örneğin, “Bugün hava bulutludur”, “Ağaçta bir kedi var”, “Sıcaklık 30 derecenin üstündedir” gibi. Bunun yanında önermeler, analitik ve sentetik olmak üzere ikiye ayrılmıştır. Analitik önerme, Kant’a göre, “özne-yüklem” biçiminde olan ve öznenin yüklemden sadece kavramsal analizle anlamının çıkarıldığı önerme tipidir. Yani yüklemin, öznenin anlamına yeni bir şey katmadığı önermeler. Dahası, analitik önermelerin kendileri ve değil’leri aynı anda doğru olamaz. Örneğin, “Bekar, evli olmayandır” önermesinde “bekar” ile “evli olmayan” aynı anlamdadır, biri diğerinden kavramsal analizle çıkarılabilir. “Bekar, evli olmayandır” cümlesinin değili olan “Bekar, evli olandır” diye bir cümle bu yüzden kendisiyle çelişik bir cümle olacaktır. Analitik olmayan önermeler sentetik önermelerdir. Kant, felsefenin kavramsal analizle yapıldığını, ancak matematiğin kavramsal analizin ötesinde bir araca ihtiyaç duyduğunu, bunun da nesnelerin saf görü zeminindeki temsilleriyle gerçekleştirildiğini savunmuştur. Böylece matematiksel bilginin hem bir bakıma evrensel olduğunu hem de felsefeden ayrılarak analitik a priori değil, sentetik a priori olduğunu söylemiştir. Kant’a göre matematiksel önermeler o halde bilgimize yeni bilgi katmaktadır. Yani az önce verdiğimiz “5+7=12” önermesinde 12 sayısı ile 5+7 toplamı birbirinden kavramsal analizle çıkartılamaz. 12’yi elde etmek, 5 ile 7’nin zihnimizde a priori olarak bulunan saf zaman ve mekan formları içindeki görülerine başvurarak bunların saf zamanda arka arkaya veya yan yana bir araya getirilmesiyle mümkündür. Kant’ın matematik felsefesinin detaylarına bu yazıda girmeyeceğim. Ancak meraklı okurlara yakında çıkacak olan kitabımızı beklemelerini öneriyorum.
Kant’ın aksine Gottlob Frege, matematiğin sadece mantıksal olgulara dayandığını ve bu yüzden matematiksel bilginin analitik a priori olduğunu iddia etmiştir. Frege’den bu yazıda ayrı olarak bahsetmeyeceğiz, ancak Frege’nin bakış açısına göre felsefi aktivite ile matematiksel aktivite arasında kesin bir çizgi çizilemeyebilir. Ancak şunu söyleyebilirim ki felsefede bir sonuca varmanın zorunlu olmadığı durumlar olabilir. Nitekim Platon’un erken dönem diyaloglarında çoğunlukla bu durum görülür. Matematik aksiyomlara dayanırken, felsefe aktivitesinin kendisi herhangi bir aksiyomun varlığına ihtiyaç duymayabilir. Matematikte tanımların var olma zorunluluğu söz konusuyken felsefede bir kavramın mahiyetinin ne olduğunun tartışılması daha meta düzeyde bir tanımın varlığını gerektirmeyebilir.
Sonuç olarak, matematiğin ve felsefenin ortak aracı mantık olmuştur. Ancak matematik aksiyomatik yönteme dayanırken, felsefe aksiyomatik bir yol izlemek zorunda değildir. Matematik, tanımlardan ve aksiyomlardan yola çıkıp bu temelden mantıksal olarak ne gibi önermelerin çıktığıyla ilgilenir. Felsefe ise kavramların ve -matematik için konuşursak- nesnelerin üzerinde düşünerek bunların mahiyetine inmeye çalışan bir disiplin olarak karşımıza çıkmaktadır.
Kaynaklar:
A. A. B. Aspeitia, Mathematics as grammar: ‘Grammar’ in Wittgenstein’s philosophy of mathematics during the Middle Period, 2000, Indiana University, s. 25.
B. Russell, Introduction to Mathematical Philosophy, 1919, s. 194.
I. Kant, Critique of Pure Reason (1781), çev. Paul Guyer ve Allen W. Wood, 1998, Cambridge University Press, A713/B741.
Yazar: Ahmet Çevik
Düşünbil Portal’da yayımlanan, Düşünbil yazar ve çevirmenlerine ait herhangi bir yazı, çeviri, makale ve haber izin alınmadan basılı olarak ya da internet ortamında kullanılamaz, çoğaltılamaz, yayınlanamaz. İzinsiz kullananlar hakkında hukuki yollara başvurulacaktır.
